| 
Урок – презентация
Тема урока «Квадратные уравнениия (методы решения)» (1ч.)
Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть - и впоследствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели.
Лейбниц.
Цели урока:
1. Обучающие:
§ обобщение и систематизация знаний по теме;
§ ликвидация пробелов в знаниях учащихся;
§ установление внутри предметных связей изученной темы с другими темами курса алгебры.
2. Развивающие:
§ расширение кругозора учащихся;
§ пополнение словарного запаса;
§ развитие мышления, внимания, умения учиться.
3. Воспитание общей культуры.
Оборудование: Проектор, экран;
у каждого ученика: памятка, пригласительный билет, тест, домашние задание.
Ход урока:
I. Организационный момент
Приветствие учащихся; проверка готовности к уроку.
Сообщение темы урока: “Квадратные уравнения (методы решения)”.
Совместное формулирование цели урока.
— Сегодня у нас несколько необычный урок: урок-презентация методов решения квадратных уравнений. Как вы думаете, как можно сформулировать цель нашего урока исходя из его темы? /Речь идет о методах, значит их много (больше одного), надо каждый вспомнить и проиллюстрировать примером./
Иными словами, обобщить и систематизировать весь предшествующий опыт решения квадратных уравнений. А зачем нам это надо? /Для возможности выбора рационального пути решения./
Итак, наша цель: обобщить опыт решения квадратных уравнений, научиться выбирать рациональный путь решения.
II. Актуализация знаний
Учащиеся выполняют задание: Подпишите под таблицей номера правильных, на ваш взгляд, ответов. (Кодированные вопросы.) Слайд таблицы . Работы передаются учителю.
|
Вопросы |
Ответы |
||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
1. В каком случае уравнение ах2 + вх + с = 0 называется квадратным? |
в ≠ 0 с ≠ 0 а = 0 |
а ≠ 0 |
а = 1 |
|
2. Как называются уравнения ах2 = 0; ах2 + вх = 0; ах2 + с = 0? |
Приведенные квадратные уравнения |
Неполные квадратные уравнения |
Полные квадратные уравнения |
|
3. Сколько корней имеет квадратное уравнение ах2 = 0? |
Два корня |
Нет корней |
Один корень |
|
4. Сколько корней имеет уравнение ах2 + вх = 0? |
Два корня |
Нет корней |
Один корень |
|
5.Сколько корней имеет уравнение ах2 + с = 0, если а и с имеют одинаковые знаки? |
Два корня |
Нет корней |
Один корень |
|
51. Сколько корней имеет уравнение ах2 + с = 0, если а и с имеют разные знаки? |
Два корня |
Нет корней |
Один корень |
|
6. Уравнение ах2 + вх + с = 0 имеет два корня, если |
D<0 |
D>0 |
D=0 |
|
61. Уравнение ах2 + вх + с = 0 имеет один корень, если |
D<0 |
D>0 |
D=0 |
|
62.Уравнение ах2 + вх + с = 0 не имеет корней, если |
D<0 |
D>0 |
D=0 |
|
7. Является ли равенство х1,2= формулой корней квадратного уравнения ах2 + вх + с = 0? |
Нет |
Да |
Не знаю |
|
8. Теорема Виета для уравнения х2 + рх + q = 0 |
х1 + х2 = -q х1·х2 = р |
х1 + х2 = q х1·х2 = р |
х1+ х2 = -р х1·х2 = q |
Слайд по определению квадратных уравнений.
Прежде всего, вспомним, какие уравнения называются квадратными. /Уравнение вида 
, где х- переменная, a,b,c – числа 
, называется квадратным./ Квадратное уравнение, записанное в таком виде, является стандартным видом уравнения. Как называются числа a, b, c ?
/ а – старший коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член/
Вспомним, как традиционно решаются квадратные уравнения разных видов.Первый вид квадратных уравнений – неполные квадратные уравнения. С этим видом квадратных уравнений мы познакомились на первых уроках изучения квадратных уравнений. Вспомним, какие виды неполных квадратных уравнений бывают и как они решаются (анализ таблицы).
Слайд по неполным уравнениям и полным уравнениям, через теорему Виета. ( открытие по щелчку)
Вспомним, как традиционно решаются квадратные уравнения, записанные в стандартном виде. Прежде всего, обратимся к понятию дискриминанта. Для чего и зачем он нужен? Вспомните слово “дискриминация”, что оно означает? Оно означает унижение одних и возвышение других, т.е. различное отношение к разным людям. Оба слова (и дискриминант, и дискриминация) происходят от одного латинского слова, означающего “различающий”. Дискриминант различает квадратные уравнения по числу корней (анализ слайда). Важное дополнение: в таких случаях (D<0) обычно уточняют – нет действительных корней. Дело в том, что в математике, кроме действительных чисел, рассматриваются так называемые мнимые числа; так вот, мнимые корни у такого уравнения есть. О мнимых числах и разрешимости таких квадратных уравнений мы поговорим в старших классах. Мы вспомнили всю “азбуку” квадратного уравнения?
/Нет. Мы не вспомнили теорему Виета./
Формулируем, обращая внимание на условие D
0.
Итак, все необходимые, азбучные методы решения повторили, и я приглашаю вас на презентацию иных методов решения квадратных уравнений. И для начала заполним пригласительный билет, лежащий у каждого из вас на столе.
(Подписывают и заполняют таблицу)
Проверим. Возьмите в руки простой карандаш, сверим ответы.
|
Уравнение |
a |
b |
c |
b2 - 4ac |
х1 |
х2 |
х1+ x2 |
х1 · x2 |
|
х2- 7x + 12 = 0 |
1 |
-7 |
12 |
1 |
4 |
3 |
7 |
12 |
|
5x2- 7x - 6 = 0 |
5 |
-7 |
-6 |
169 |
2 |
-0,6 |
1,4 |
-1,2 |
|
5x2 = 15x |
5 |
-15 |
0 |
225 |
0 |
3 |
3 |
0 |
|
3x2 - 75 = 0 |
3 |
0 |
-75 |
900 |
5 |
-5 |
0 |
-25 |
Поднимите руки те, кто безошибочно справились с работой. Молодцы! Передайте свои заполненные билеты вперед.
II. Презентация специальных методов
Обратимся к памятки урока. Помимо традиционных методов решения квадратных уравнений есть еще специальные и общие методы. Рассмотрим каждый из специальных методов в отдельности. И оценим его “перспективы”. Слайды каждого метода.
7. Метод выделения квадрата двучлена
Цель: привести уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению.
В этом нам помогут формулы сокращенного умножения, а именно, квадратов суммы и разности: 
Решим уравнение х2-6х+8=0 методом выделения квадрата двучлена.
,или 
Ответ: 2;4.
Замечание: метод применим для любых квадратных уравнений, но не всегда удобен в использовании. Используется для доказательства формулы корней квадратного уравнения. (Обратить внимание на возможность пойти иным путем, применяя формулу разности квадратов).
8. Метод “переброски” старшего коэффициента
Суть метода состоит в то, что корни квадратных уравнений
ax2 + bx + c = 0 и y2+by+ac=0
связаны соотношениями:
и 
В некоторых случаях удобно решать сначала не данное уравнение
ax2 + bx + c = 0, а приведенное y2+by+ac=0 ,которое получается из данного “переброской” коэффициента а, а затем разделить найденные корни на а для нахождения корней исходного уравнения.
Пример: решите уравнение:
2х2-9х-5=0
заменим приведенным квадратным уравнением с “переброской” коэффициента а:
( D>0 ), по теореме, обратной теореме Виета, подбором найдем корни
вернемся к корням исходного уравнения
Ответ: 5; -0,5
Замечание: метод хорош для квадратных уравнений с “удобными” коэффициентами. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно.
Следующие два метода также применимы при определенных условиях и позволяют избежать громоздких вычислений.
9. Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а второй, по теореме Виета, равен 
.
Пример: решите уравнение:
157х2+20х-177=0
a = 157, b = 20, c = -177
a + b+ c =157+20-177=0
x1 = 1,
x2 = =
Ответ: 1; 
10. Если в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен -1, а второй, по теореме Виета, равен 
Пример: решите уравнение:
203х2+220х+17=0
a = 203, b = 220, c = 17
a + c = 203 + 17 = 220 = b
х1 = -1,
Ответ: -1; 
Вывод: при решении квадратного уравнения стандартного вида полезно сначала проверить, являются ли числа 1 и -1 корнями уравнения.
Однако, при выборе пути решения квадратного уравнения следует помнить, что помимо специальных методов возможно применение и общих методов решения уравнений.
К таким методам относятся:
- разложение на множители;
- введение новой переменной;
- графический способ.
Презентация общих методов решения уравнений
11. Метод разложения на множители
Цель: Привести квадратное уравнение общего вида к виду А(х)·В(х)=0, где А(х) и В(х) – многочлены относительно х.
Способы:
- вынесение общего множителя за скобки;
- использование формул сокращенного умножения;
- способ группировки.
Пример: решите уравнение:
3х2+2х-1=0
произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла, или когда оба равны нулю.
,
или
Ответ: -1; 
.
12. Метод введения новой переменной
Умение удачно ввести новую переменную – важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.
Пример: решите уравнение:
Пусть: t = 5х + 3
Произведем замену переменной:
(Устно проверим условие D > 0)
по теореме, обратной теореме Виета,
t1 = 1, t2 = 2
Произведем обратную замену и вернемся к переменной х:
Если t = 1, то
Если t = 2, то
Ответ: -0,4; -0,2
Вывод: при решении уравнения не следует торопиться выполнять преобразования. Посмотрите, нельзя ли записать уравнение проще, введя новую переменную.
И, наконец, наиболее “зрелищный” метод.
13. Графический метод
Для решения уравнения f(x) = g(x) необходимо построить графики функций
y = f(x), y = g(x) и найти точки их пересечения; абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения. Вспомним применение этого метода при решении квадратного уравнения:
(Устно обсудить области определения.)
1. Построим график функции 
Графиком является парабола, “ветви” которой направлены вверх,(0;0) – вершина параболы, график симметричен относительно оси ординат
|
X |
1 |
2 |
3 |
|
Y |
1 |
4 |
9 |
2. Построим график функции y = x + 2
Линейная функция. Графиком является прямая.
|
X |
0 |
-2 |
|
Y |
2 |
0 |
3. Точки пересечения: А(-1;1) и В(2;4)
Ответ: -1;2
Применяя графический метод в данном случае, мы нашли точное значение корней, но так бывает не всегда. Однако графический метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества.
Историческая справка
Посмотрите на многообразие методов решения. Как, когда, сразу ли появилось такое многообразие? Как много вопросов…
Безусловно, человечество “додумалось” до всего не сразу и не в одночасье. Для этого потребовались долгие годы и даже столетия. Обратимся к историческому путеводителю. Первые упоминания о способах решения уравнений, которые мы сейчас называем квадратными относятся ко второму тысячелетию до н.э.
Презентация истории возникновения квадратных уравнений.(вставить)
И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым он заложил основы буквенной алгебры.
Более подробно с этапами развития методов решения квадратных уравнений, а так же личностью Виета и его вклада в развитие алгебры мы сможем познакомиться на конференции.
Подведение итогов.
Итак, подведем итог. Решение квадратных уравнений возможно осуществлять разными методами. Для квадратных уравнений применимы не только традиционные и специальные методы решения, но и общие методы решения уравнений. Сегодня мы обобщили опыт решения квадратных уравнений и посмотрим, как научились выбирать наиболее рациональный метод решения. Попробуйте расшифровать высказывание из копилки “Золотых мыслей”. Для этого проанализируйте представленные уравнения, выберите для каждого более рациональный метод решения и укажите номер этого метода. Затем, согласно ключу, расставьте в нижней таблице слоги и прочтите высказывание. ( каждому напечатать , сделать слайд с ответом по щелчку)
|
№/№ |
Уравнение |
№ метода |
|
№ метода |
|
|
1 |
20x2 - 6x = 0 |
|
1 |
КО |
|
|
2 |
3x2 - 5x + 4 = 0 |
|
2 |
ТЬСЯ |
|
|
3 |
100x2 + 53x – 153 = 0 |
|
3 |
ИН |
|
|
4 |
35x2 – 8 = 0 |
|
4 |
У |
|
|
5 |
7x2 + 8x + 2 = 0 |
|
5 |
ЛЕГ |
|
|
6 |
299x2 – 300x + 1 = 0 |
|
6 |
АН |
|
|
7 |
4x2 – 4x + 3 = 0 |
|
7 |
НО |
|
|
8 |
(x – 8)2 – (3x + 1)2 = 0 |
|
8 |
ЗА |
|
|
9 |
4(x – 1)2 + 0,5(x – 1) – 1 = 0 |
|
9 |
НЕ |
|
|
10 |
12x2 = 0 |
|
10 |
РЕС |
|
|
|
11 |
ЧИ |
|||
|
12 |
ТЕ |
||||
|
13 |
ВА |
||||
|
№ уравнения |
2 |
8 |
1 |
|
3 |
5 |
10 |
|
7 |
|
4 |
9 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
Итак, получили высказывание Я. А. Коменского: “Учиться нелегко, но интересно”. Я думаю, эти слова как нельзя, кстати, подходят для окончания нашей сегодняшней презентации.
Домашнее задание( слайд) напечатать каждому.
1. Решите уравнение х2+6х-16=0 по формуле, выделением квадрата двучлена и графическим методом.
2. Составьте уравнения на применение теорем (метод 9, 10).
3. Решите уравнение 3х2+5х+2=0 пятью способами.
4. Решите уравнение (х2-х)2-14(х2-х)+24=0 методом введения новой переменной.
“Золотые мысли” (контроль)
Расставьте номера методов решения уравнений и расшифруйте высказывание.
КЛЮЧ
|
№/№ |
Уравнение |
№ метода |
|
№ метода |
|
|
1 |
20x2 - 6x = 0 |
2 |
1 |
КО |
|
|
2 |
3x2 - 5x + 4 = 0 |
4 |
2 |
ТЬСЯ |
|
|
3 |
100x2 + 53x – 153 = 0 |
9 |
3 |
ИН |
|
|
4 |
35x2 – 8 = 0 |
3 |
4 |
У |
|
|
5 |
7x2 + 8x + 2 = 0 |
5 |
5 |
ЛЕГ |
|
|
6 |
299x2 – 300x + 1 = 0 |
10 |
6 |
АН |
|
|
7 |
4x2 – 4x + 3 = 0 |
7 |
7 |
НО |
|
|
8 |
(x – 8)2 – (3x + 1)2 = 0 |
11 |
8 |
ЗА |
|
|
9 |
4(x – 1)2 + 0,5(x – 1) – 1 = 0 |
12 |
9 |
НЕ |
|
|
10 |
12x2 = 0 |
1 |
10 |
РЕС |
|
|
|
11 |
ЧИ |
|||
|
12 |
ТЕ |
||||
|
13 |
ВА |
||||
|
№ уравнения |
2 |
8 |
1 |
|
3 |
5 |
10 |
|
7 |
|
4 |
9 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
Пригласительный билет (контроль)
|
Уравнение |
a |
b |
c |
b2 - 4ac |
x1 |
x2 |
x1+ x2 |
x1· x2 |
|
X2- 7x + 12 = 0 |
1 |
-7 |
12 |
1 |
4 |
3 |
7 |
12 |
|
5x2- 7x - 6 = 0 |
5 |
-7 |
-6 |
169 |
2 |
-0,6 |
1,4 |
-1,2 |
|
5x2 = 15x |
5 |
-15 |
0 |
225 |
0 |
3 |
3 |
0 |
|
3x2 - 75 = 0 |
3 |
0 |
-75 |
900 |
5 |
-5 |
0 |
-25 |
